P[J_]  :=  Exp[- J J / 2]/Sqrt[2 Pi]

Integrate[P[J], {J, -Infinity, +Infinity}]

f[Beta_] := 
      -1/Beta 
        Integrate[
          P[J] Log[2 Cosh[Beta J]], {J, -Infinity, +Infinity}]

f[β]

f2[Beta_]  :=  Beta * f[Beta]

g[Beta_]  :=  f2'[Beta]

g[β]

g[1] // N

g[2] // N

g[4] // N

g[8] // N

g[16] // N

g[32] // N

g[64] // N

g[128] // N

g[256] // N

g[512] // N

Plot[g[β], {β, 0, 1000}]