STATISTICAL MECHANICS AND CRITICAL PHNOMENA
Prof. E. Marinari
1. PARISI CAP. 1. Dalla termodinamica alla meccanica statistica. La
distribuzione di Boltzmann. Ensemble canonico e
microcanonico. L'entropia: distribuzioni continue e distribuzioni
discrete. Il teorema di Shannon. I principi estremali (mediante i
moltiplicatori di Lagrange): Boltzmann con minimo dell'entropia a
energia fissata o come massimo della energia libera. F = -T log Z, S =
beta**2 * @F/@beta (con @ indico una derivata parziale), U = -@/@beta
log Z. beta definita in meccanica statistica e' proporzionale
all'inverso della temperatura definita in termodinamica. Cenni alla
derivazione funzionale.
2. PARISI CAP. 2. Sistemi magnetici e transizioni di fase. Definizioni
rilevanti (hamiltoniana, magnetizzazione, suscettibilita'; campo
magnetico costante e campo magnetico che dipende dal sito). Funzioni
di correlazioni e funzioni di correlazione connesse. Fluttuazioni
termodinamiche. Il teorema di fluttuazione e dissipazione. Rottura
spontanea di simmetria. Limite di volume infinito. Singolarita' a
campo magnetico nullo. Modello di Ising. Gap della magnetizzazione per
h vicino a zero sotto la temperatura critica. Gli zeri della funzione
di partizione. Il criterio di Ehrenfest. Il ruolo delle condizioni al
bordo e del volume finito. L'evoluzione temporale, e la
magnetizzazione come funzione del tempo. Gli stati puri e le miscele
statistiche. Lo stato "+" e lo stato "-": campo magnetico infinitesimo
o condizioni al bordo. La proprieta' di clustering. Gli stati puri
sono clustering.
3. PARISI CAP. 3, 3.6 ESCLUSO. Il modello di Ising. Universalita' e
costruzione dei modelli fisici. Hamiltoniana per Ising, XY,
Heisenberg. Ferromagneti e antiferromagneti. L'approssimazione di
campo medio. Probabilita' fattorizzate. Soluzione. Di nuovo il campo
medio attraverso una identita' esatta e poi una approssimazione
(approccio DLR. Dobrushin, Lanford, Ruelle). Discussione dettagliata
della soluzione del campo medio, in campo magnetico nullo e non nullo,
per temperature sopra e sotto Tc. Massimi e minimi della energia
libera. Sviluppi vicino a Tc e vicino a T=0. Stati metastabili,
Esponenti critici. beta, gamma, delta. Transizione di fase del secondo
ordine e del primo ordine. Un modello risolubile esattamente: forze
deboli a lungo raggio: di nuovo il campo medio. Correlazioni
deboli. Quando la soluzione di campo medio descrive bene un sistema?
Calcolo della dimensione critica superiore per il modello di Ising,
Dc=4: risposta lineare, nuova stima delle funzioni di correlazione,
spazio dei momenti, il propagatore. Calcolo del calore specifico:
comportamento sopra e sotto D=4.
decadimento esponenziale delle funzioni di
correlazione ad alte temperature. Per T>Tc < sigma_i sigma_k > -- > 0
quando D tende a infinito come una potenza di 1/D (funzioni di Bessel
modificate e loro espansione). Il decadimento esponenziale delle
funzioni di correlazione ad alte temperature grazie a un teorema sul
comportamento delle funzioni analitiche.
Esponente critico nu. Isotropia vicino
a Tc. La lunghezza di correlazione xi. Il gap in magnetizzazione e la
lunghezza di correlazione: quando il gap tende a zero xi tende a
infinito. Al Tc due soluzioni si fondono in una, e questo implica che
la suscettibilita' diverge. Un primo riassunto degli esponenti
critici.
4, PARISI CAP.4, ESCLUSO 4.3 E 4.7, CENNI 4.6. Il modello Gaussiano e
il modello di Ising: espansioni di bassa e di alta
temperatura. Espansione di bassa temperatura per Ising. Calcolo di Z
con i primi due contributi. La cancellazione dei termini piu' che
estensivi. Conseguenze generali dell'indipendenza della densita' di
energia libera da N nei sistemi a corto raggio. Cluster connessi e
risommazione dei loro contributi. Il modello Gaussiano e l'espansione
di alta temperatura. Definizione del modello Gaussiano. Calcolo
algebrico. Riappare il campo medio. Utili identita' matriciali:
det(A)= exp(tr(log(A))), d/dz log (A+z) = 1/(A+z). Le funzioni di
correlazione a piu' punti (4, 6). Contributi connessi e
disconnessi. La definizione generale, a tutti gli ordini delle
funzioni di correlazione connesse. Legame con l'energia libera e
proprieta' di clustering.
Lo sviluppo diagrammatico nello sviluppo di
alte T del modello Gaussiano. Funzione di correlazione a due
punti. Cancellazione dei diagrammi disconnessi. L'esempio del
diagramma a "quadratino" o a "plaquette" (di ordine beta alla
quarta).
L'espansione di alta temperatura per il modello di
Ising. Relazioni fondamentali per variabili binarie. Espansione in
caratteri (exp(beta s)=c*(1+t*s) se s=+-1, c=cosh(beta) e
t=tanh(beta)). La densita' di energia libera al primo ordine non
banale. Cenni alle espansioni ad alti ordini. La struttura della
singolarita' e il comportamento asintotico. Le soluzioni esatte (D=1 e
la matrice di trasferimento in dettaglio, Onsager in D=2 solo cenni).
5. PARISI CAP. 5 CENNI 5.6 E APPENDICI, ESCLUSI 5.7 E 5.8. La teoria
di Landau-Ginzburg e la teoria delle perturbazioni. Da Ising al
modello Gaussiano a Landau-Ginzburg. L'Hamiltoniana continua, e la
struttura dei suoi minimi. L'Hamiltoniana efficace. Il cutoff Lambda:
rapporti con la spaziatura reticolare. Il ruolo della "massa quadra"
mu. La rimozione del cutoff e il limite a -- > 0. Da H continua di
nuovo al discreto. Le leggi di scala con a: analisi
dimensionale. Costante di accoppiamento adimensionale. L'espansione
perturbativa in g. La funzione di correlazione a due punti. Primo
ordine in g. Calcolo di numeratore e denominatore. Sopravvivono solo i
diagrammi connessi: vero in generale. Secondo ordine in g. Le
possibile contrazioni. L'hamburger, i due girini e il cactus, con le
loro molteplicita'. La simmetria nelle variabili di integrazione. Le
regole generali dello sviluppo perturbativo. Lo scambio delle linee
interne. Una utilissima regola di somma. Come calcolare nello spazio
di Fourier. Gli integrali dei diagrammi ai primi due ordini in g. Le
regole generali del calcolo nello spazio di Fourier. I diagrammi
irriducibili a una particella (1PI). Come effettuare delle sensate
risommazioni parziali. I diagrammi amputati. La risommazione dei
girini, e di diagrammi piu' complicati. La rappresentazione grafica
della risommazione. mu_c, il punto critico. La funzione di
correlazione a 4 punti: 1) diagrammi completamente disconnessi, 2)
prodotti di correlazioni a 2 punti e 3) diagrammi completamente
connessi. Primo ordine. La conservazione del momento nel
vertice. Calcoli nello spazio di Fourier. Secondo ordine e ordini piu'
alti. La manipolazione degli integrali nello spazio dei momenti. I
parametri di Feynman.
Le divergenze ultraviolette. Il grado di
divergenza di un diagramma e di un sottodiagramma. Diagramma
divergenti, superficialmente convergenti e convergenti. E+2N=4V.
DIV=(D-4)L+4-E. D<2, D=2 e rinormalizzaione, massa nuda emassa
rinormalizzata, controtermini nell'Hamiltoninana. D=3. Divergenze che
non dipendono da p. Divergenze che dipendono da p.
6. PARISI CAP. 6 -
Vicino alla transizione. Le divergenze
infrarosse. Le divergenze infrarosse. Espansione a mu_c come funzione
di p. Esempi: la funzione a 4 punti con una e con piu' bolle. Esempio
in D=3.
L'espansione perturbativa sembra inutile.
7. PARISI CAP. 8. ESCLUSO 8.4 CENNI 8.3 e 8.5 Il gruppo di
rinormalizzazione nello spazio dei momenti. Costante di accoppiamento
effettiva adimensionale gtilde. I campi rinormalizzati. Una nuova
costante di accoppiamento lambda e la mappa da g/m**(4-D) a
lambda. L'esponente mu. L'espressione della serie perturbativa in
funzione di lambda. La funzione beta, ed il suo comportamento come
funzione di gtilde e come funzione di lambda. Il calcolo del valore di
lambda critico. lambda e' m**(D-0 * Gamma4R. Tutti i calcoli
dettagliati al primo ordine. Funzione a quattro punti. Valutazione di
diagrammi, molteplicita', integrali nello spazio dei
momenti. nu(1_loop) = 1/2 * 1/(1-(4-D)/6). (non e' stato svolto il
calcolo per eta, solo quello per nu). Cenni al calcolo a due looop.
8. ITZYKSON-DROUFFE, VOL. 1, CAP. 4.1.
Relazioni di ricorrenza nello spazio reale. Come riscalare. a -- >
lambda a. L'esponente termico y_theta. nu = 1/y_theta. Regolarita'
delle traiettorie del gruppo di rinormalizzazione. L'esponente
magnetico y_h. Le relazioni fra esponenti critici in funzione di
esponente termico e esponente magnetico. Gli "scaling fields" o campi
scalanti. Il flusso degli accoppiamenti. Accoppiamenti rilevanti,
irrilevanti e marginali. Il flusso del gruppo di rinormalizzazione. La
varieta' critica. T ed h come parametri rilevanti. L'universalita'.
Scaling delle funzioni di correlazione a n spin. Dimensioni dei campi
nella teoria libera e nella teoria interagente. La dimensione anomala.
Il modello di Potts a q stati. La decimazione unidimensionale
esatta. La base ortonormale. La matrice di trasferimento. Calcolo
esatto in D=1 per q stati. Il processo di decimazione esatta. Le leggi
di scala vicino al punto critico.