Programma del Corso di "Sistemi Disordinati" - 1999/2000 - E. Marinari

1. Introduzione alla Meccanica Statistica (PSFT cap. 1).
   • La Distribuzione di Boltzmann.
   • L'Entropia. Il teorema di Shannon.
   • Principi Variazionali.
   • La Temperatura Assoluta.
2. Sistemi Magnetici e Transizioni di Fase (PSFT cap. 2).
   • Definizioni e Generalita'.
   • Risposta Lineare.
   • Rottura Spontanea di Simmetria. Magnetizzazione Spontanea. Classificazione di Ehrenfest. Volume Infinito. Zeri della Funzione di Partizione. Condizioni al Bordo. Stati Puri e Clustering. Gruppo di Simmetria.
3. Il Modello di Ising (PSFT cap. 3).
   • Hamiltoniane Effettive.
   • L'Approssimazione di Campo Medio (ACM).
   • ACM mediante una Distribuzione di Probabilita' Fattorizzata.
   • ACM mediante DLR (ipotesi di un "campo medio").
   • ACM Migliorata mediante DLR.
   • ACM ad h=0: Comportamento dell'Energia Libera. Transizione di Fase. Limite T --> Tc e Limite T --> 0.
   • ACM ad h diverso da zero.
   • Magnetizzazione Spontanea. Metastabilita'. Esponenti Critici.
   • ACM mediante una Disuguaglianza di Convessita'.
   • Forze Deboli a Lungo Raggio.
   • Le Funzioni di Correlazione. Fluttuazioni nell'ACM. Dimensione Critica Superiore. Decadimento Esponenziale delle Funzioni di Correlazione a T diversa da Tc.
   • Transizioni di Fase del Secondo Ordine.
4. Introduzione ai Sistemi Disordinati (F).
   • Meccanismi per la Creazione del Disordine. Dislocazioni, disclinazioni, melting. Diluizione. La Percolazione. Modello di Ising in Campo Magnetico Aleatorio (RFIM). Branched Polymers ed Animali Reticolari. Superfici Aleatorie.
   • La Frustrazione. Plaquettes. Classi di Equivalenza delle Configurazioni di Accoppiamenti (Invarianza di Gauge). Correlazioni Invarianti di Gauge. Configurazioni di Domain Walls e Classi di Equivalenza del Disordine. Vetri di Spin in Campo Magnetico non Nullo.
   • I Vetri Strutturali.
   • I Ferromagneti Diluiti. Diagramma di Fase. Singolarita' di Griffiths. Diagramma di Fase del RFIM.
   • Il Disordine e la Dinamica.
5. Il Criterio di Harris (H).
   • Il Caso di Impurezze Correlate.
6. Le Singolarita' di Griffiths (G).
7. Effetti Dinamici delle Singolarita' di Griffiths (GD).
   • Argomenti di Scaling.
   • C(t) e' un esponenziale stretched per T --> TG+.
   • C(t) = exp(-A(log t)**(d/(d-1))) nella fase di Griffiths per modelli di tipo Ising.
   • C(t) e' un esponenziale stretched (beta = 1/2) per nella fase di Griffiths per modelli di tipo Heisenberg.
8. Le Leggi di Scaling (DI).
   • Omogeneita' ed Invarianza di Scala.
   • Parametri Rilevanti.
   • Ipotesi di scaling.
   • Esponenti Critici.
9. Gli Zeri di Lee ed Yang (DI).
   • Dimostrazione del Teorema di Lee ed Yang.
   • Il caso 1D. Soluzione mediante Matrice di Trasferimento. Le Singolarita' della Funzione di Partizione.
10. Magnetizzazione Rimanente e Rilassamento non Esponenziale: un Calcolo Esatto (FM).
    • Lo Spin Glass di Ising in 1D.
    • Rimanenza.
    • Energia dello Stato Fondamentale.
    • Calcolo dell'Energia Rimanente.
    • Calcolo della Magnetizzazione Rimanente.
    • Stima del Decadimento Non-Esponenziale della Magnetizzazione.

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11. Il Modello di Ising in Campo Magnetico Aleatorio.
    • L'Argomento di Imry e Ma (IM,NAT).
    • Algebre di Grassmann: Derivazione, Integrazione, Cambiamenti di Variabili, Integrali Gaussiani (ZJ).
    • Il Teorema di Parisi-Sourlas: Lagrangiana Supersimmetrica, Invarianza, Supercampo e Superspazio, Riduzione Dimensionale (PS).
    • Enunciazione e Discussione del Risultato della Dimostrazione Rigorosa di Imbrie (IMB).
12. Metodi Monte Carlo Statici e Dinamici (S, cap. 3).
    • Stime di valori medi e varianze.
    • Estimatori biased ed unbiased.
    • Tecniche di riduzione della varianza.
    • Campionamento sotto distribuzioni ottimali.
    • Catene di Markov: ergodicita', bilancia.
    • Convergenza alla distribuzione di equilibrio.
    • Funzioni di correlazione temporale, normalizzata e non.
    • Tempo di autocorrelazione esponenziale.
    • Tempo di autocorrelazione integrato e stima della varianza.
    • Leggi di scala dei tempi di autocorrelazione.
13. Vetri di Spin.
    • Esperimenti Classici (FH, cap.1).
      1. Cos'e' un vetro di spin.
      2. Momenti congelati e suscettibilita'.
      3. Dipendenza dalla frequenza della suscettibilita' ac.
      4. Effetti di rimanenza nella fase di vetro di spin.
      5. Comportamento della suscettibilita' dc.
      6. TRM ed IRM.
    • Due Esperimenti Recenti (REC).
      1. Effetti di Memoria e Chaos nei Vetri di Spin.
      2. Misura Sperimentale di una Lunghezza di Correlazione di Vetro di Spin.
    • La Media sul Disordine (FH, cap.2.3)
      1. Medie annealed e medie quenched.
      2. Accoppiamenti quenched con distribuzione gaussiana.
      3. Il metodo delle repliche.
      4. Interazione effettiva a 4 spin.
    • Parametro d'Ordine di Spin Glass e Rottura di Ergodicita'. (FH, cap.2.4)
      1. Stati stabili, molte fasi.
      2. Parametro d'ordine q di Edwards-Anderson.
      3. Grandezze automedianti e non. Contributi da un valle e da varie valli.
      4. Overlap per una data realizzazione del disordine.
      5. Suscettibilita' di overlap.
      6. Distribuzione non-triviale del parametro d'ordine di overlap. Il caso di un ferromagnete nella fase rotta.
      7. Magnetizzazione ed overlap nel linguaggio dell'Hamiltoniana effettiva.
    • Il Modello di Sherrington e Kirkpatrick (SK)
      1. Il campo medio.
      2. Le repliche.
      3. L'Hamiltoniana effettiva.
      4. La soluzione replico-simmetrica: minimizzazione dell'energia libera. m e q. Fase paramagnetica e punto criticoa Tc. Insuccesso sotto Tc. S(T=0)<0. Discrepanza con le simulazione Monte Carlo.
    • Stabilita' ed Instabilita' della Soluzione RS del modello di SK ( DAT). Calcolo delle fluttuazioni.
    • Rottura della Simmetria delle Repliche e Rottura di Ergodicita': la Soluzione di Parisi (FH cap. 3.4).
      1. Hamiltoniana effettiva: termini rilevanti.
      2. L'ansatz di Parisi: parametrizzazione di Qab.
      3. Rottura a 1-step.
      4. Rottura continua. q(x). Vicino a Tc.
      5. Cenni alla stabilita' della soluzione di Parisi (senza calcoli dettagliati).
      6. Cenni alla struttura ultrametrica.
    La parte che segue non e' in programma quest'anno: spero lo sara' l'anno venturo.
14. Cenni a Questioni Dinamiche nei Sistemi Complessi. Violazioni di FDT.
15. Cenni ai Sistemi Vetrosi.
16. Derrida e Gardner, stati metastabili in 1D (calcolo analitico).

BY K. Binder e P. Young, Spin Glasses: Experimentals facts, Theoretical Concepts and Open Questions, Rev. Mod. Phys. 58 (1986) 801.

DAT: de Almeida Thouless.

DI: J. M. Drouffe e C. Itzykson, Statistical Field Theory

F: J. Froelich, Mathematical Aspects of the Physics of Disordered Systems, in Critical Phenomena... edito da K. Osterwalder and R. Stora, Les Houches 1984 (Elsevier 1986).

FH K. H. Fischer e J. A. Hertz, Spin Glasses (Cambridge University Press, Cambridge 1991).

FM: J. F. Fernandez e R. Medina, Phys. Rev. B 19 (1979) 3561.

G: R. Griffiths, Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 17.

GD: nel corso abbiamo discusso il lavoro di A. Bray, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 720; si veda anche M. Randeira et al., Phys. Rev. Lett. 54 (1985) 1321, e A. Bray, Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 586.

H: il lavoro originale e' A. Harris, J. Phys. C 7 (1974) 1671; la dimostrazione svolta nel corso e' contenuta in A. Weinrib e B. Halperin, Phys. Rev. B 27 (1983) 413.

IM: Y. Imry e S-k Ma, Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1399.

IMB: J. Z. Imbrie, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 1747.

MPV: M. Mezard, G. Parisi e M. A. Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond (World Scientific, Singapore 1987).

NAT: Nattermann, in Spin Glasses and Random Fields edito da P. Young, p. 277 (World Scientific, Singapore 1998).

PS: G. Parisi e N. Sourlas, Phys. Rev. Lett. 43 (1979) 744.

PSFT: G. Parisi, Statistical Field Theory

REC: K. Jonason et al., Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3243; Y. G. Joh et al., Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 438.

S: A. Sokal, Monte Carlo Methods for the Self-Avoding Walk, hep-lat/9405016.

SK: SK PRL e PRB

ZJ: J. Zinn-Justin,